学問がくもんとは何なにか [ 2026年ねんの知識ちしき体系たいけいを歩あるく ]

問といを問といとして立たてる ── タレスからソクラテスへ

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前6世紀ぜんろくせいきの小しょうアジア西岸せいがん、イオニア地方ちほうの港市こうしミレトスに生いきたタレスが「万物ばんぶつの始原しげんは水みずである」と述のべたと伝つたえられる。ただしタレス自身じしんの著作ちょさくは一行いちぎょうも現存げんそんしない。この命題めいだいを我々われわれが知しるのは、二百にひゃく数十すうじゅう年後ねんごにアリストテレスが『形而上学けいじじょうがく』第一だいいち巻かんで先行者せんこうしゃたちの見解けんかいを整理せいりした記述きじゅつによる。ヘロドトスがタレスに帰かえす日食にっしょく予言よげんの逸話いつわも同おなじ扱あつかいを要ようする。ヘロドトスは日時にちじではなくその年としを予告よこくしたと記しるすにとどまり、前ぜん585年ねん5月ごがつ28日にじゅうはちにちという同定どうていは近代きんだいの天文学的てんもんがくてき逆算ぎゃくさんによる。当時とうじの天文てんもん知識ちしきで特定とくていの土地とちにおける日食にっしょくの可視かし性せいまで予測よそくできたかについては疑問ぎもんが呈ていされており、伝承でんしょうとして扱あつかうのが穏当おんとうである。重要じゅうようなのは答こたえの正ただしさではない。

転換てんかんは答こたえの内容ないようではなく、答こたえの型かたにあった。従来じゅうらい、世界せかいの成なり立たちを語かたる言葉ことばは神々かみがみの系譜けいふという形かたちをとっていた。海うみが荒あれるのはポセイドンの怒いかりであり、その説明せつめいは神かみの意志いしという、それ以上いじょう遡さかのぼれない1点いってんで止とまる。これに対たいしタレスの水みず、アナクシマンドロスの無限むげん定ていなもの（アペイロン）、アナクシメネスの空気くうきは、いずれも自然しぜんの内部ないぶにある何なにかで自然しぜんを説明せつめいしようとする。原因げんいんを世界せかいの外そとに置おかず、内ないに置おく。この一歩いっぽが、説明せつめいを検証けんしょうと反論はんろんの射程しゃていに引ひき入いれた。

その帰結きけつは、彼かれらの相互そうご関係かんけいに現あらわれている。アナクシマンドロスはタレスの弟子でし筋すじとされながら始原しげんを水みずとせず、アナクシメネスはさらに別べつの答こたえを出だした。神話しんわの語かたり手てが先行せんこうする語かたりを訂正ていせいすることはあっても、それは異ことなる伝承でんしょうの併存へいそんにとどまる。ここで起おきたのは、同おなじ問といに対たいする競合きょうごうする答こたえの提出ていしゅつであり、後続こうぞく者しゃが先行者せんこうしゃに反対はんたいすることが学派がくはの断絶だんぜつではなく継続けいぞくの形式けいしきになったという事態じたいである。反論はんろん可能性かのうせいが知ちの生産せいさん様式ようしきに組くみ込こまれた。

ソクラテスは、この流ながれに別べつの軸じくを持もち込こんだ。ただし彼かれもまた著作ちょさくを一行いちぎょうも残のこしていない。我々われわれが知しるソクラテスは、プラトンの対話篇たいわへんに描えがかれたソクラテス、クセノポンの回想かいそうに描えがかれたソクラテス、そしてアリストパネスが前ぜん423年ねんの喜劇きげき『雲くも』で吊つり籠かごに乗のせて天空てんくうの事柄ことがらを論ろんじさせたソクラテスの、少すくなくとも三みっつである。三者さんしゃの像ぞうは一致いっちしない。どれが歴史上れきしじょうの人物じんぶつに近ちかいか、そもそも復元ふくげん可能かのうかという難題なんだいは「ソクラテス問題もんだい」と呼よばれ、19世紀じゅうきゅうせいき初頭しょとうのシュライアマハーの論考ろんこう以来いらい、決着けっちゃくしていない。

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プラトンが描えがくソクラテスの技法ぎほうはエレンコス、すなわち問答もんどうによる論駁ろんばくである。その手順てじゅんは独特どくとくで、彼かれは自分じぶんの主張しゅちょうを立たてない。相手あいてが「敬虔けいけんとは何なにか」に答こたえる。ソクラテスはその定義ていぎから出発しゅっぱつし、相手あいて自身じしんが同意どういする別べつの命題めいだいを次々つぎつぎに引ひき出だし、最後さいごに相手あいての当初とうしょの定義ていぎと引ひき出だされた同意どういが両立りょうりつしないことを示しめす。『エウテュプロン』では、敬虔けいけんとは神々かみがみに愛あいされることだという定義ていぎが、神々かみがみの間あいだに対立たいりつがあるという相手あいて自身じしんの前提ぜんていと衝突しょうとつして崩くずれる。残のこるのは正ただしい定義ていぎではなく、行いき詰づまり（アポリア）である。

前ぜん399年ねん、ソクラテスはアテナイの民衆みんしゅう法廷ほうていで裁さばかれ、死刑しけい判決はんけつを受うけた。告発こくはつ状じょうの文面ぶんめんは、ディオゲネス・ラエルティオスがファウォリノスを介かいして国家こっか文書ぶんしょ庫こに残のこっていたと伝つたえる形かたちで引用いんようされており、罪状ざいじょうは二ふたつ、国家こっかが認みとめる神々かみがみを認みとめず新奇しんきな神霊しんれいを導入どうにゅうしたこと、そして若者わかものを堕落だらくさせたことである。告発人こくはつにんはメレトス、アニュトス、リュコンの3名さんめいとされる。前ぜん404年ねんの三十人僭主政さんじゅうにんせんしゅせいに彼かれの周辺しゅうへん人物じんぶつが関与かんよしたという政治的せいじてき背景はいけいがこの訴訟そしょうを動うごかしたという解釈かいしゃくは有力ゆうりょくだが、前ぜん403年ねんの恩赦おんしゃにより政治的せいじてき訴追そついが封ふうじられていた事情じじょうからの推論すいろんであり、告発こくはつ状じょうそのものには政治的せいじてき文言もんごんはない。

裁判さいばんと死しをめぐる二ふたつの主要しゅような典拠てんきょ、プラトンの『弁明べんめい』と『パイドン』は、性格せいかくが大おおきく異ことなる。『弁明べんめい』にはイデア論ろんが現あらわれず、クセノポンの伝つたえる像ぞうと骨格こっかくにおいて重かさならない部分ぶぶんが少すくない。対たいする『パイドン』は魂たましいの不死ふしの複数ふくすうの論証ろんしょうとイデア論ろんを全面ぜんめん展開てんかいしており、プラトン自身じしんの哲学てつがくの色いろが濃こい。しかも『パイドン』は冒頭ぼうとう近ちかくで、プラトンは病気びょうきだったと思おもう、と語かたり手てに言いわせている。目撃者もくげきしゃではないという断ことわりが作品さくひんの内部ないぶに置おかれているのである。

有名ゆうめいな最期さいごの場面ばめんも、この『パイドン』の描写びょうしゃである。デロス島とうへの祭祀さいし使節しせつが戻もどるまで処刑しょけいが延期えんきされ、その間かんに脱獄だつごくを勧すすめられて断ことわり、当日とうじつ、毒どくを飲のんで足先あしさきから冷つめたくなっていったと語かたられる。用もちいられた毒どくはコニウム、すなわちドクニンジンの類るいとされる。もっとも、この植物しょくぶつの主成分しゅせいぶんによる中毒ちゅうどくが『パイドン』の描えがくような静穏せいおんな上行じょうこう性せい麻痺まひの経過けいかをたどるかについては、20世紀にじっせいき以来いらい医学的いがくてきな疑義ぎぎが提出ていしゅつされる一方いっぽう、近年きんねんには、上行じょうこう性せいの運動うんどう麻痺まひと意識いしきの清明せいめいが併存へいそんする症例しょうれい報告ほうこくは描写びょうしゃと矛盾むじゅんしないとする反論はんろんもあり、決着けっちゃくしていない。

では、なぜ「知しらないことを知しっている」が知ちの出発点しゅっぱつてんになるのか。『弁明べんめい』でソクラテスは、デルポイの神託しんたくが自分じぶんより知恵ちえのある者ものはいないと告つげたと聞きき、その意味いみを確たしかめるために知者ちしゃと評判ひょうばんの人々ひとびとを訪たずね歩あるいたと語かたる。結論けつろんは、彼かれらは知しらないのに知しっていると思おもい、自分じぶんは知しらないことを知しらないとは思おもっていない、その差さだけが自分じぶんの優位ゆういだというものだった。ここで起おきているのは謙遜けんそんではない。無知むちの自覚じかくとは、自分じぶんの信念しんねんのうちどれが根拠こんきょを持もたないかを特定とくていする作業さぎょうであり、特定とくていされた無知むちは次つぎに調しらべるべき対象たいしょうになる。答こたえを持もたないことが、問といを持もつことに変かわる。

論証ろんしょうの形かたちを取とり出だす ── アリストテレスの三さん段だん論法ろんぽう

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アリストテレスの論理学ろんりがく的てき著作ちょさくは六篇ろっぺんからなる。『カテゴリー論ろん』『命題論めいだいろん』『分析ぶんせき論ろん前書ぜんしょ』『分析ぶんせき論ろん後書あとがき』『トピカ』『詭弁きべん論駁ろんばく論ろん』である。これらをまとめて『オルガノン』（道具どうぐの意い）と呼よぶのは後代こうだいの呼称こしょうであり、アリストテレス自身じしんがこの総称そうしょうを用もちいた形跡けいせきはない。彼かれにとって論理ろんりは個別こべつの学問がくもんの一ひとつではなく、あらゆる学問がくもんが使つかう道具どうぐだという位置いちづけを、この名なは後あとから与あたえたことになる。編纂へんさんの経緯けいいにも古代こだいからの伝承でんしょうが絡からむが、確実かくじつなのは、現在げんざいの配列はいれつが学派がくは内ないでの整理せいりの産物さんぶつだということである。

配列はいれつには理屈りくつがある。『カテゴリー論ろん』は語かたられるものを実体じったい・量りょう・質しつ・関係かんけいなどの類型るいけいに分わけ、単独たんどくの語ごの水準すいじゅんを扱あつかう。『命題論めいだいろん』は語ごを組くみ合あわせて真偽しんぎを担になう最小単位さいしょうたんい、すなわち肯定文こうていぶんと否定文ひていぶんを作つくる水準すいじゅんに進すすむ。そして『分析ぶんせき論ろん前書ぜんしょ』が、命題めいだいを組くみ合あわせて別べつの命題めいだいを導みちびく水準すいじゅんに至いたる。語ご、文ぶん、推論すいろんという三さん層そうを分わけて扱あつかう設計せっけいそのものが、後世こうせいの論理学ろんりがくの骨格こっかくになった。何なにが推論すいろんの単位たんいかを先さきに確定かくていしてから推論すいろんを論ろんじる、という順序じゅんじょである。

『分析ぶんせき論ろん前書ぜんしょ』が扱あつかう定言ていげん命題めいだいは四よっつの型かたを取とる。すべてのSはPである（全称ぜんしょう肯定こうてい）、いかなるSもPでない（全称ぜんしょう否定ひてい）、あるSはPである（特称とくしょう肯定こうてい）、あるSはPでない（特称とくしょう否定ひてい）。これらをA・E・I・Oの記号きごうで呼よぶのは中世ちゅうせいラテン語ご圏けんの工夫くふうで、肯定こうていを意味いみするaffirmoの母音ぼいんAとIを肯定こうてい側がわに、否定ひていを意味いみするnegoの母音ぼいんEとOを否定ひてい側がわに割わり当あてたものである。アリストテレス自身じしんはこの略号りゃくごうを使つかっていない。

四型よんけいの間あいだには固定こていした関係かんけいがある。AとO、EとIは矛盾むじゅん関係かんけいにあり、一方いっぽうが真しんなら他方たほうは必かならず偽にせ、一方いっぽうが偽にせなら他方たほうは必かならず真しんになる。AとEは反対はんたい関係かんけいで、同時どうじに真しんではありえないが同時どうじに偽にせではありうる。IとOは小しょう反対はんたい関係かんけいで、同時どうじに偽にせではありえないが同時どうじに真しんではありうる。AからI、EからOへは大小だいしょう関係かんけい（従属じゅうぞく関係かんけい）が成なり立たつ。これらを正方形せいほうけいの四隅よすみに配はいして示しめす図式ずしきは「対当たいとう方陣ほうじん」と呼よばれる。図ずそのものは2世紀にせいきのアプレイウスに帰かえされる著作ちょさくやボエティウスの系譜けいふに現あらわれるもので、前者ぜんしゃはこれを「四角しかくい図式ずしき」と呼よんでいる。「対当たいとうの方陣ほうじん」という定型ていけい句くが固かたまるのは中世ちゅうせいである。

ただし、この四よっつの関係かんけいがすべて成なり立たつには、隠かくれた条件じょうけんがある。主語しゅごの項こうが指さすものが実際じっさいに存在そんざいするという想定そうていである。「すべての一角獣いっかくじゅうは角かどを持もつ」と「ある一角獣いっかくじゅうは角かどを持もつ」を並ならべれば事情じじょうは見みえる。一角獣いっかくじゅうが一頭いっとうもいないなら、後者こうしゃは偽にせだが、前者ぜんしゃは反例はんれいが一ひとつもないという理由りゆうで真しんとされうる。すると全称ぜんしょうから特称とくしょうへの大小だいしょう関係かんけいは破やぶれる。19世紀じゅうきゅうせいき後半こうはんから20世紀にじっせいきにかけて、全称ぜんしょう肯定こうていを「Sであってかつ、Pでないものは存在そんざいしない」と読よむ解釈かいしゃくが標準ひょうじゅんになり、現代げんだいの述語じゅつご論理ろんりはこの読よみを採とる。その結果けっか、対当たいとう方陣ほうじんで無条件むじょうけんに生いき残のこるのは矛盾むじゅん関係かんけいだけとなり、反対はんたい・小しょう反対はんたい・大小だいしょう関係かんけいはいずれも成なり立たたなくなる。アリストテレスが空そらの項こうを想定そうていしなかったこと自体じたいは責せめられない。問題もんだいは、その想定そうていが暗黙あんもくだったために、条件じょうけん付つきの定理ていりが無条件むじょうけんの定理ていりとして2000年ねんのあいだ教おしえられ続つづけたことにある。

三さん段だん論法ろんぽうは二ふたつの前提ぜんていと一ひとつの結論けつろんからなる。格かくを語かたる前まえに、二ふたつの前提ぜんていを区別くべつしておく必要ひつようがある。結論けつろんの述語じゅつごとなる項こうを大だい項こう、結論けつろんの主語しゅごとなる項こうを小しょう項こうと呼よび、大だい項こうを含ふくむほうの前提ぜんていを大前提だいぜんてい、小しょう項こうを含ふくむほうの前提ぜんていを小前提しょうぜんていと呼よぶ。「すべての人間にんげんは死しぬものである。すべてのギリシア人じんは人間にんげんである。ゆえにすべてのギリシア人じんは死しぬものである」であれば、「死しぬもの」が大だい項こう、「ギリシア人じん」が小しょう項こう、第一だいいちの前提ぜんていが大前提だいぜんてい、第だい二にの前提ぜんていが小前提しょうぜんていである。前提ぜんていの双方そうほうに現あらわれて結論けつろんには現あらわれない項こう、この例れいでは「人間にんげん」が中項ちゅうこうである。二ふたつの前提ぜんていを書かく順序じゅんじょは本質ほんしつではなく、どちらの前提ぜんていがどちらの項こうを含ふくむかが、この区別くべつを決きめる。

格かくは、中項ちゅうこうが大前提だいぜんていと小前提しょうぜんていのどちらで主語しゅごになり、どちらで述語じゅつごになるかによって分わかれる。中項ちゅうこうが大前提だいぜんていで主語しゅごとなり小前提しょうぜんていで述語じゅつごとなるのが第一だいいち格かく、両方りょうほうの前提ぜんていで述語じゅつごとなるのが第だい二に格かく、両方りょうほうの前提ぜんていで主語しゅごとなるのが第だい三さん格かくである。さきの例れいは第一だいいち格かくにあたる。格かくは、どの命題型めいだいけいを前提ぜんていに入いれるかとは独立どくりつの枠わくであり、格かくと型かたの組くみ合あわせが個々ここの式しきを決きめる。アリストテレスが立たてたのはこの三さん格かくであり、『分析ぶんせき論ろん前書ぜんしょ』第一だいいち巻かんの四よん章しょうから六章ろくしょうで、それぞれ四よん式しき・四よん式しき・六ろく式しき、合あわせて14の妥当だとうな組くみ合あわせが確定かくていされる。

第一だいいち格かくが「完全かんぜん」と呼よばれるのは、そこでの推論すいろんが結論けつろんの必然性ひつぜんせいを前提ぜんていの並ならびから直ただちに読よみ取とれるからである。すべてのMはPであり、すべてのSはMであるなら、すべてのSはPである。ここでは項こうが包含ほうがん関係かんけいの階段かいだんとして一列いちれつに並ならんでおり、追加ついかの操作そうさを要ようしない。第だい二に格かくと第だい三さん格かくの推論すいろんは、それ自体じたいでは必然性ひつぜんせいが直観ちょっかんされないため、命題めいだいの換かえ位いや背理法はいりほうによって第一だいいち格かくの形かたちに「還元かんげん」されることで妥当性だとうせいが示しめされる。つまり第一だいいち格かくは、他ほかの格かくが正ただしさを借かりにゆく基準きじゅんの役やくを担になう。

第だい四格しかく、すなわち中項ちゅうこうが大前提だいぜんていで述語じゅつご、小前提しょうぜんていで主語しゅごとなる配置はいちは、アリストテレスの著作ちょさくには格かくとして現あらわれない。これをガレノスの発案はつあんとする伝承でんしょうは、アヴェロエスを経由けいゆしてヨーロッパに伝つたわったものだが、ガレノス自身じしんの現存げんそんする論理学ろんりがくの著作ちょさくにその記述きじゅつはなく、20世紀にじっせいきにウカシェヴィチが帰属きぞくを疑うたがって以来いらい、定説ていせつとは言いいがたい。四格しかくを立たてた伝統的でんとうてき論理学ろんりがくが妥当だとうと認みとめる式しきは24、そのうち中世ちゅうせいの記憶術きおくじゅつ詩しが列挙れっきょした主要しゅような式しきは19で、残のこる五いつつは大小だいしょう関係かんけいを使つかって結論けつろんを弱よわめた式しきである。弱よわめられた五いつつにもBarbari以下いかの名なは与あたえられており、無名むめいなのではない。この計数けいすうは伝統的でんとうてき論理学ろんりがくのもので、時代じだいを遡さかのぼらせて読よむべきではない。加くわえて、さきに述のべた主語しゅごの存在そんざいの想定そうていを外はずすと、24のうちそのまま妥当だとうなのは15にとどまり、残のこる九ここのつは、主語しゅごの項こうが空そらでないという前提ぜんていを明示めいじ的てきに補おぎなって初はじめて導みちびけるようになる。

表ひょう1三さん段だん論法ろんぽう ── 数かぞえ方かたで「妥当だとうな式しき」の数かずが変かわる

Barbara, Celarent, Darii, Ferio という語ご列れつは、13世紀じゅうさんせいきのスペインのペトルスやシャーウッドのウィリアムらの教科書きょうかしょに見みえる中世ちゅうせいの記憶術きおくじゅつである。仕掛しかけは母音ぼいんにある。Barbaraの三みっつのaはA・A・Aで、大前提だいぜんてい・小前提しょうぜんてい・結論けつろんがすべて全称ぜんしょう肯定こうていであることを示しめす。Celarentはe・a・eで全称ぜんしょう否定ひてい・全称ぜんしょう肯定こうてい・全称ぜんしょう否定ひてい、Dariiはa・i・i、Ferioはe・i・oとなる。さらに子音しいんにも役割やくわりが与あたえられ、sは単純たんじゅん換かえ位い、pは制限せいげんを伴ともなう換かえ位い、mは前提ぜんていの入いれ替かえ、cは背理法はいりほうによる還元かんげんを指示しじする。頭あたまの子音しいんも無意味むいみではない。CesareやCamestresのCはCelarentへ、DaraptiやDisamisのDはDariiへというように、その式しきを還元かんげんすべき第一だいいち格かくの式しきを指定していしている。つまりこの人工語じんこうごは、その式しきをどう第一だいいち格かくに戻もどすかの操作そうさ手順てじゅんを埋うめ込こんだ圧縮あっしゅく記法きほうだった。

三さん段だん論法ろんぽうが確立かくりつしたもののうち最もっとも射程しゃていが長ながいのは、妥当性だとうせいと真理しんりの区別くべつである。「すべての魚さかなは哺乳類ほにゅうるいである。すべての鯨くじらは魚さかなである。ゆえにすべての鯨くじらは哺乳類ほにゅうるいである」は、三みっつの命題めいだいがいずれも偽にせでありながら、推論すいろんとしては完全かんぜんに妥当だとうである。形かたちが保証ほしょうするのは、前提ぜんていがすべて真しんであれば結論けつろんも必かならず真しんになるという条件じょうけん付つきの関係かんけいだけであって、前提ぜんていの真偽しんぎそのものではない。逆ぎゃくに、真しんの前提ぜんていから真しんの結論けつろんが出でても推論すいろんが妥当だとうとは限かぎらない。内容ないようの吟味ぎんみと形式けいしきの吟味ぎんみを別べつの作業さぎょうとして切きり離はなしたこと、これが論理学ろんりがくを独立どくりつの分野ぶんやにした。

限界げんかいも明瞭めいりょうである。三さん段だん論法ろんぽうは項こうの包含ほうがん関係かんけいしか扱あつかえない。19世紀じゅうきゅうせいきにド・モルガンが挙あげた例れいが事情じじょうを示しめしている。すべての馬うまは動物どうぶつである、ゆえにすべての馬うまの頭あたまは動物どうぶつの頭あたまである。この推論すいろんは誰だれにも正ただしく見みえるが、三さん段だん論法ろんぽうのどの格かくのどの式しきにも当あてはまらない。「〜の頭あたまである」という二に項こうの関係かんけいが命題めいだいの内部ないぶに入はいり込こむと、主語しゅごと述語じゅつごという二に分ぶん法ほうでは書かき取とれないからである。同様どうように「すべての人ひとはある人ひとを愛あいする」と「ある人ひとはすべての人ひとに愛あいされる」の差さ、すなわち量りょう化かの入いれ子こも表現ひょうげんできない。この壁かべが破やぶられるのは、1879年ねんのフレーゲが量化子りょうかしを備そなえた人工じんこう言語げんごを設計せっけいしたときであり、それまでに2200年ねんを要ようした。

別べつの道みち ── ストア派はの命題論めいだいろん理り

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アリストテレスの学園がくえんと並ならんで、前3世紀ぜんさんせいきのアテナイにはもう一ひとつの論理学ろんりがくの伝統でんとうがあった。ストア派はである。とりわけ前3世紀ぜんさんせいき後半こうはんに学頭がくとうを務つとめたクリュシッポスは、ディオゲネス・ラエルティオスの伝つたえるところでは700巻かんを超こえる著作ちょさくを書かいたとされるが、そのうち完本かんぽんとして現存げんそんするものは一ひとつもない。我々われわれが知しる内容ないようは、2世紀にせいきから3世紀さんせいきのセクストス・エンペイリコスによる懐疑派かいぎはの立場たちばからの批判的ひはんてき引用いんよう、ディオゲネス・ラエルティオスの学説がくせつ誌し、ガレノスやキケロの言及げんきゅうといった、後代こうだいの断片だんぺんと証言しょうげんから復元ふくげんされたものである。

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失うしなわれた体系たいけいの核心かくしんは、変項へんこうの置おき方ほうの違ちがいにあった。アリストテレスは「すべてのAはBである」のように、文字もじを項こう、すなわち名辞めいじの代かわりに用もちいた。ストア派はは「第一だいいちのもの」「第だい二にのもの」といった序数じょすうを、命題めいだいそのものの代かわりに用もちいた。「もし第一だいいちのものならば第だい二にのものである。ところが第一だいいちのものである。ゆえに第だい二にのものである」という具合ぐあいである。この置おき換かえによって、推論すいろんの妥当性だとうせいが主語しゅごと述語じゅつごの関係かんけいからではなく、条件文じょうけんぶんや選言せんげんといった結合けつごうの仕方しかただけから決きまる領域りょういきが切きり出だされた。今日きょうの命題論めいだいろん理りにほぼ相当そうとうする対象たいしょうが、ここで初はじめて分離ぶんりされた。

ストア派はは五いつつの基本きほん形式けいしきを立たて、それらを「証明しょうめい不可能ふかのうなもの」と呼よんだ。証明しょうめいできないという意味いみではなく、証明しょうめいを必要ひつようとしないほど直接的ちょくせつてきだという意味いみである。第一だいいちは、もしpならばqであり、pである、ゆえにqである。第だい二には、もしpならばqであり、qでない、ゆえにpでない。第だい三さんは、pとqがともに成なり立たつことはない、ところがpである、ゆえにqでない。第だい四よんは、pまたはqであり、pである、ゆえにqでない。第だい五ごは、pまたはqであり、pでない、ゆえにqである。第だい四よんの形式けいしきが成なり立たつことから分わかるように、彼かれらの選言せんげんは両立りょうりつを許ゆるさない排他的はいたてきなものであり、現代げんだいの標準的ひょうじゅんてきな包含ほうがん的てき選言せんげんとは異ことなる。

さらに彼かれらは、複合ふくごう的てきな推論すいろんをこの五ご形式けいしきに分解ぶんかいする規則きそくを持もっていた。任意にんいの妥当だとうな推論すいろんは、証明しょうめい不可能ふかのうなものの組くみ合あわせに還元かんげんできるという主張しゅちょうである。これは、少数しょうすうの基本きほん規則きそくから出発しゅっぱつして体系たいけい全体ぜんたいを組くみ上あげるという発想はっそうであり、演繹えんえき体系たいけいの完全性かんぜんせいという現代的げんだいてきな問題もんだい設定せっていの遠とおい原型げんけいにあたる。ただし、その還元かんげん規則きそくの全容ぜんようは断片だんぺんからは復元ふくげんしきれていない。

条件文じょうけんぶんをめぐる論争ろんそうは、この学派がくはの周辺しゅうへんで異例いれいの熱ねつを帯おびた。メガラ派はのフィロンは、条件文じょうけんぶんが偽にせになるのは前件ぜんけんが真しんで後件こうけんが偽にせである場合ばあいに限かぎる、と主張しゅちょうした。これは現代げんだいの実質じっしつ含意がんいそのものであり、その帰結きけつとして「もし地球ちきゅうが平たいらならば二に足たす二には四よんである」も真しんになる。師しにあたるディオドロス・クロノスはこれを不十分ふじゅうぶんとし、いかなる時点じてんにおいても前件ぜんけんが真しんで後件こうけんが偽にせであることがない場合ばあいにのみ真しんだとした。クリュシッポスはさらに進すすんで、前件ぜんけんと後件こうけんの否定ひていが両立りょうりつ不可能ふかのうであることを求もとめた。セクストス・エンペイリコスが伝つたえるカリマコスの警句けいく、屋根やねの上うえの鴉からすまでがどの条件文じょうけんぶんが真しんかを鳴なき交かわしている、という一句いっくが、この論争ろんそうの広ひろがりを伝つたえている。

二ふたつの伝統でんとうは、その後ごまったく異ことなる運命うんめいをたどった。アリストテレスの著作ちょさくは学派がくはの注釈ちゅうしゃく者しゃたちによって注釈ちゅうしゃくの対象たいしょうであり続つづけた。『カテゴリー論ろん』『命題論めいだいろん』は6世紀ろくせいきのボエティウスがギリシア語ごから訳やくしたラテン語ご版はんを通つうじて中世ちゅうせい前期ぜんきに読よみ継つがれ、残のこる四よん篇へんも12世紀じゅうにせいきにギリシア語ごから訳やくし直なおされた。アラビア語ご圏けんを経由けいゆしてラテン世界せかいに入はいったのは、主しゅとして注釈ちゅうしゃくの系譜けいふである。ストア派はの論理学ろんりがく書しょは、これに対応たいおうする連続れんぞくした注釈ちゅうしゃくの系譜けいふを持もたなかった。そのうえ、項こうの論理ろんりを唯一ゆいいつの論理学ろんりがくとみなす立場たちばからストア派はの議論ぎろんは些末さまつな言葉遊ことばあそびと見みなされる時期じきが長ながく、19世紀じゅうきゅうせいきの論理学史ろんりがくし記述きじゅつにもその評価ひょうかは残のこっていた。

再評価さいひょうかは20世紀にじっせいきに入はいってからである。フレーゲ以降いこう、命題めいだい結合子けつごうしを基本きほんに据すえた論理ろんり体系たいけいが数学すうがくの標準ひょうじゅんになったことで、ストア派はが扱あつかっていた対象たいしょうの正体しょうたいが見みえるようになった。ウカシェヴィチが1930年代ねんだいにストア派はの論理ろんりを命題めいだい論理ろんりとして読よみ直なおし、1950年代ねんだいのメイツの研究けんきゅうがそれを定着ていちゃくさせた。項こうの論理ろんりと命題論めいだいろん理りが一ひとつの体系たいけいのなかで統合とうごうされるのは、量化子りょうかしを持もつ述語じゅつご論理ろんりが成立せいりつしてからのことで、二ふたつの道みちが分わかれてからおよそ2200年ねんが経たっていた。

対偶たいぐう・逆ぎゃく・裏うら ── 何なにが保存ほぞんされ、何なにが保存ほぞんされないか

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「AならばB」という条件文じょうけんぶんからは、機械的きかいてきに三みっつの変形へんけいが作つくれる。前件ぜんけんと後件こうけんを入いれ替かえた「BならばA」が逆ぎゃく、両方りょうほうを否定ひていした「AでないならばBでない」が裏うら、入いれ替かえたうえで両方りょうほうを否定ひていした「BでないならばAでない」が対偶たいぐうである。このうち、元もとの命題めいだいと必かならず真偽しんぎが一致いっちする、すなわち同値どうちであるのは対偶たいぐうだけである。逆ぎゃくと裏うらは元もとの命題めいだいとは独立どくりつであり、真しんであることも偽にせであることもある。ただし逆ぎゃくと裏うらは互たがいに対偶たいぐうの関係かんけいにあるため、この二ふたつは常つねに同おなじ真偽値しんぎちをとる。

雨あめが降ふれば地面じめんが濡ぬれる、という命題めいだいを考かんがえれば事情じじょうは明白めいはくである。対偶たいぐうは、地面じめんが濡ぬれていなければ雨あめは降ふっていない、となり、確たしかに元もとと同おなじ内容ないようを裏側うらがわから述のべている。逆ぎゃくは、地面じめんが濡ぬれていれば雨あめが降ふった、となり、散水車さんすいしゃが通とおった場合ばあいに偽にせになる。にもかかわらず、日常にちじょうの推論すいろんは逆ぎゃくを犯おかしやすい。この病気びょうきなら発熱はつねつする、という知識ちしきから、発熱はつねつしているならこの病気びょうきだ、と結論けつろんする誤あやまりは、前件ぜんけん肯定こうていに見みせかけた後件こうけん肯定こうていとして繰くり返かえし現あらわれる。原因げんいんから結果けっかへの含意がんいが、結果けっかから原因げんいんへの含意がんいとして読よみ返かえされてしまう。

この傾向けいこうは実験的じっけんてきにも測はかられている。1960年代ねんだいにピーター・ウェイソンが考案こうあんした選択せんたく課題かだいでは、片面かためんに文字もじ、裏面りめんに数字すうじが書かかれた四よん枚まいのカードが示しめされ、「片面かためんが母音ぼいんならば、その裏うらは偶数ぐうすうである」という規則きそくが守まもられているかを確たしかめるために、どのカードをめくるべきかが問とわれる。正解せいかいは母音ぼいんのカードと奇数きすうのカードだが、多おおくの実施じっしで正答せいとう率りつは1割いちわり前後ぜんごにとどまり、被験者ひけんしゃは母音ぼいんのカードと偶数ぐうすうのカードを選えらぶ傾向けいこうを示しめす。偶数ぐうすうのカードは規則きそくの逆ぎゃくを確たしかめているにすぎず、規則きそくを反証はんしょうしうる奇数きすうのカード、すなわち対偶たいぐうにあたる検査けんさが見落みおとされる。興味深きょうみぶかいことに、同おなじ論理ろんり構造こうぞうでも「酒さけを飲のんでいるなら20歳にじっさい以上いじょうでなければならない」といった社会的しゃかいてき規則きそくの形かたちで提示ていじすると正答せいとう率りつは大おおきく上昇じょうしょうする。論理ろんりの形かたちだけでは人間にんげんの推論すいろんの当あたり外はずれは説明せつめいできない。

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対偶たいぐうと並ならんで古代こだいが獲得かくとくした強力きょうりょくな形式けいしきが背理法はいりほうである。ある命題めいだいを仮かりに置おき、そこから矛盾むじゅんを導みちびき、したがってその仮定かていは成なり立たたないと結論けつろんする。この手続てつづきは、直接ちょくせつには手てが届とどかない対象たいしょうについて、その不在ふざいや不可能ふかのう性せいを確定かくていできる点てんで特異とくいである。アリストテレスは『分析ぶんせき論ろん前書ぜんしょ』のなかで、この推論すいろん形式けいしきの代表だいひょう例れいとして、正方形せいほうけいの対角線たいかくせんと一辺いっぺんが通約つうやく不可能ふかのうであることの証明しょうめいに言及げんきゅうしている。この形かたちの議論ぎろんが当時とうじすでに教科書きょうかしょ的てきな標準ひょうじゅん例れいだったことを示しめす証言しょうげんである。

証明しょうめいの骨格こっかくはよく知しられている。二にの平方根へいほうこんが整数せいすうの比ひで表あらわせると仮定かていし、その比ひを既約きやくなものにとる。分子ぶんしの二に乗じょうが分母ぶんぼの二に乗じょうの2倍にばいになることから分子ぶんしは偶数ぐうすうでなければならず、それを代入だいにゅうすると分母ぶんぼもまた偶数ぐうすうでなければならないことが出でる。既約きやくという仮定かていと衝突しょうとつするので、最初さいしょの仮定かていが誤あやまりだったことになる。この結論けつろんが古代こだいに衝撃しょうげきだったのは、単たんに一ひとつの数かずが扱あつかいにくいという話はなしではない。任意にんいの二ふたつの量りょうには共通きょうつうの尺度しゃくどがあるという前提ぜんていが崩くずれ、比ひによって世界せかいを記述きじゅつするという構想こうそうの土台どだいが抜ぬけたからである。修復しゅうふくにはエウドクソスによる比例ひれい論ろんが必要ひつようになり、その成果せいかが『原論げんろん』第だい五ご巻かんに収おさめられている。もっとも、この巻かんをエウドクソスに帰かえすのは第だい五ご巻かんに付ふされた古代こだいの傍注ぼうちゅうに基もとづく帰属きぞくであって、直接ちょくせつの証拠しょうこがあるわけではない。

この証明しょうめいを発見はっけんしたとされるヒッパソスが海うみに沈しずめられたという物語ものがたりは、数百すうひゃく年後ねんごのイアンブリコスらに現あらわれる後代こうだいの伝承でんしょうであり、史実しじつとして扱あつかうことはできない。また、『原論げんろん』第十巻だいじっかんの末尾まつびに置おかれたこの命題めいだいは、後世こうせいの挿入そうにゅうとみるのが今日きょうの通例つうれいである。証明しょうめいの形かたちにも1点いってん、注意ちゅういすべきところがある。ここで行おこなわれているのは、ある仮定かていを置おいて矛盾むじゅんを導みちびき、その仮定かていの否定ひていを結論けつろんすることであって、否定ひていのほうを仮定かていして元もとの命題めいだいに戻もどる操作そうさではない。この違ちがいは、次つぎに見みる排中律はいちゅうりつへの疑義ぎぎがどこに及およぶかを決きめる。

背理法はいりほうには二ふたつの形かたちがある。ある命題めいだいを仮定かていして矛盾むじゅんを導みちびき、その否定ひていを結論けつろんする形かたちと、否定ひていのほうを仮定かていして矛盾むじゅんを導みちびき、元もとの命題めいだいを結論けつろんする形かたちである。前者ぜんしゃは否定ひていという語ごの意味いみそのものから出でるのに対たいし、後者こうしゃは、任意にんいの命題めいだいについて、それが成なり立たつかその否定ひていが成なり立たつかのいずれかである、という排中律はいちゅうりつを必要ひつようとする。二に重じゅうの否定ひていから元もとの命題めいだいへ戻もどる手続てつづきを認みとめるかどうかが、分わかれ目めになる。この第だい二にの形かたちを無制限むせいげんには認みとめない立場たちばが20世紀にじっせいき初頭しょとうに現あらわれた。ブラウワーに始はじまる直観ちょっかん主義しゅぎである。彼かれらの主張しゅちょうは、無限むげんを扱あつかう領域りょういきにおいて、ある対象たいしょうが存在そんざいするという主張しゅちょうは、それを構成こうせいする手続てつづきを示しめして初はじめて成なり立たつ、というものだった。この立場たちばでは、存在そんざいしないと仮定かていして矛盾むじゅんを導みちびいても、存在そんざいすることの証明しょうめいにはならない。

ここで区別くべつしておくべき二ふたつの原理げんりがある。無矛盾むむじゅん律りつは、ある命題めいだいとその否定ひていが同時どうじに成なり立たつことはない、と言いう。排中律はいちゅうりつは、そのどちらかが必かならず成なり立たつ、と言いう。アリストテレスは『形而上学けいじじょうがく』第だい四よん巻かんで前者ぜんしゃを、およそ論証ろんしょうの前提ぜんていとして最もっとも確実かくじつな原理げんりだと擁護ようごした。直観ちょっかん主義しゅぎが留保りゅうほするのは後者こうしゃだけであって、前者ぜんしゃではない。それどころか直観ちょっかん主義しゅぎ論理ろんりでは、排中律はいちゅうりつの否定ひていを導みちびくことはできない。むしろ、「Aか、Aでないか、のいずれかが成なり立たつ」ということが成なり立たたない、ということはない、という二に重じゅうの否定ひていの形かたちの命題めいだいは定理ていりとして証明しょうめいされる。直観ちょっかん主義しゅぎは矛盾むじゅんを許ゆるす論理ろんりではなく、「どちらかである」と言いうためには「どちらであるか」を示しめせと要求ようきゅうする論理ろんりである。両者りょうしゃを混同こんどうすると、矛盾むじゅんを含ふくむ体系たいけいを許容きょようする矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんりと取とり違ちがえることになるが、こちらは無矛盾むむじゅん律りつのほうを制限せいげんする、まったく別べつの系統けいとうである。

1930年ねん前後ぜんごにハイティングが形式けいしき化かした直観ちょっかん主義しゅぎの体系たいけいは、しばらくは基礎きそ論ろん上じょうの少数しょうすう意見いけんに見みえた。だが、構成こうせい的てきな証明しょうめいとプログラムを対応たいおうづける視点してんが発展はってんしたことで、今日きょうでは証明しょうめい支援しえん系けいや型理論かたりろんの実装じっそうを支ささえる標準的ひょうじゅんてきな論理ろんりの一ひとつになっている。先さきの二にの平方根へいほうこんの証明しょうめいのように、仮定かていから矛盾むじゅんを導みちびいて仮定かていを否定ひていする推論すいろんは、この体系たいけいのなかでもそのまま通とおる。失うしなわれるのは、否定ひていの否定ひていから肯定こうていへ渡わたる一歩いっぽだけである。

何なにを証明しょうめいとみなすかは、一ひとつに決きまっていない。

公理こうりから積つみ上あげる ── ユークリッドという型かた

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後代こうだいの証言しょうげんによればアレクサンドリアで活動かつどうしたユークリッドが前ぜん300年ねん頃ころに編あんだとされる『原論げんろん』は、全ぜん13巻じゅうさんかんからなる。その第一だいいち巻かんの冒頭ぼうとうに置おかれているのは、点てんとは部分ぶぶんを持もたないものである、といった23の定義ていぎ、任意にんいの点てんから任意にんいの点てんへ直線ちょくせんを引ひくことができるといった五いつつの公準こうじゅん、そして同おなじものに等ひとしいものは互たがいに等ひとしいといった五いつつの共通きょうつう概念がいねん（公理こうり）である。以降いこうのすべての命題めいだいは、これらと既すでに証明しょうめいされた命題めいだいだけから導みちびかれる。編者へんしゃユークリッドその人ひとについては、生没年せいぼつねんも出身地しゅっしんちもほとんど分わかっておらず、主要しゅような伝記でんき的てき言及げんきゅうは5世紀ごせいきのプロクロスの注釈ちゅうしゃくという、800年ねん近ちかく後あとの資料しりょうに依存いぞんしている。

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この構成こうせいが新あたらしかったのは、個々ここの定理ていりの内容ないようではない。三角形さんかくけいや円えんについての知識ちしきの多おおくは先行せんこうして存在そんざいしていた。新あたらしかったのは、何なにを前提ぜんていに置おいたかを冒頭ぼうとうで全部ぜんぶ言いい切きり、以後いごは追加ついかの前提ぜんていを持もち込こまないという禁欲きんよくである。読者どくしゃは、途中とちゅうで示しめされた命題めいだいに納得なっとくできなければ、その証明しょうめいが使つかっている前まえの命題めいだいに遡さかのぼり、さらに遡さかのぼって、最後さいごは冒頭ぼうとうの十じゅう数すう行ぎょうに行いき着つく。知識ちしきの全体ぜんたいが一いち枚まいの追跡ついせき可能かのうな構造こうぞうになり、誰だれが述のべたかではなく、どこから導みちびかれたかだけが問とわれるようになる。

ただしこの体系たいけいも完璧かんぺきではない。たとえば第一だいいち巻かん第一だいいち命題めいだいで正せい三角形さんかくけいを作図さくずする際さい、二ふたつの円えんが交まじわることが暗黙あんもくに使つかわれているが、それを保証ほしょうする公準こうじゅんは挙あげられていない。この種しゅの隙間すきまのうち、点てんが直線ちょくせん上じょうでどう並ならぶかという順序じゅんじょに関かかわるもの、たとえば三角形さんかくけいの一辺いっぺんと交まじわる直線ちょくせんが残のこる二に辺へんのいずれかとも交まじわるという事実じじつが公理こうりとして言いわれていないことを最初さいしょに明示めいじしたのは、1882年ねんのパッシュ『新しん幾何学きかがく講義こうぎ』である。それらを含ふくむ体系たいけいを与あたえたのが、1899年ねんのヒルベルトの仕事しごとだった。

五いつつの公準こうじゅんのうち、第だい五ごだけが異質いしつである。他ほかの四よっつが一行いちぎょう前後ぜんごで済すむのに対たいし、第だい五ごは、二に直線ちょくせんに交まじわる直線ちょくせんが同おなじ側がわの内角ないかくの和わを二に直角ちょっかくより小ちいさくするならば、その二に直線ちょくせんは延長えんちょうすればその側がわで交まじわる、という長ながい条件文じょうけんぶんになっている。ユークリッド自身じしん、この公準こうじゅんの使用しようを可能かのうなかぎり先送さきおくりしており、第一だいいち巻かんの28番目ばんめの命題めいだいまで使つかわずに進すすむ。作者さくしゃ自身じしんがこの前提ぜんていの異質いしつさを意識いしきしていたと読よめる配置はいちである。

そこで古代こだいから、第だい五ご公準こうじゅんを他ほかの四よっつから証明しょうめいしようとする試こころみが繰くり返かえされた。プロクロスの注釈ちゅうしゃくにはすでに複数ふくすうの試こころみへの言及げんきゅうがある。この問題もんだいを最もっとも執拗しつように追おったのは、むしろイスラーム圏けんの数学者すうがくしゃたちで、11世紀じゅういっせいきのイブン・アルハイサム、ウマル・ハイヤーム、13世紀じゅうさんせいきのナスィール・アッディーン・トゥースィーらが、四角しかく形けいの角かどの性質せいしつを経由けいゆする独自どくじの議論ぎろんを残のこした。彼かれらの仕事しごとはヨーロッパにも伝つたわり、1733年ねんにサッケーリが、第だい五ご公準こうじゅんの否定ひていから矛盾むじゅんを導みちびこうとして膨大ぼうだいな定理ていり群ぐんを導出どうしゅつしながら、矛盾むじゅんに至いたらないまま強引ごういんに結論けつろんした著作ちょさくを残のこす。彼かれが導みちびいた定理ていり群ぐんは、後あとから見みれば別種べっしゅの幾何学きかがくの内容ないようそのものだった。

決着けっちゃくは19世紀じゅうきゅうせいきに訪おとずれる。ロバチェフスキーが1820年代ねんだい末まつにカザンで、ボヤイ・ヤーノシュが1832年ねんに父ちちの著書ちょしょの付録ふろくとして、それぞれ独立どくりつに、第だい五ご公準こうじゅんを否定ひていした体系たいけいを矛盾むじゅんなく展開てんかいしてみせた。ガウスも同種どうしゅの結論けつろんに達たっしていたが公表こうひょうせず、ボヤイの父ちちに宛あてた書簡しょかんで、これを賞賛しょうさんすることは自分自身じぶんじしんを賞賛しょうさんすることになる、という趣旨しゅしを書かき送おくっている。決定的けっていてきな補強ほきょうは1868年ねんのベルトラミによるもので、非ひユークリッド幾何きかの内容ないようをユークリッド幾何きかの内部ないぶのモデルとして解釈かいしゃくしてみせた。これにより、非ひユークリッド幾何きかが矛盾むじゅんするならユークリッド幾何きかも矛盾むじゅんする、という相対的そうたいてきな無矛盾むむじゅん性せいが示しめされ、第だい五ご公準こうじゅんは他ほかの公準こうじゅんから独立どくりつであることが確定かくていした。2000年ねんの証明しょうめいの試こころみは、証明しょうめいできないことの証明しょうめいによって閉とじた。

この結末けつまつは、公理こうりの身分みぶんを変かえた。公理こうりはもはや疑うたがいえない自明じめいの真理しんりではなく、そこから何なにが導みちびかれるかを見みるために選えらばれた仮定かていになった。仮定かていを取とり替かえれば別べつの幾何学きかがくが成なり立たち、どちらが現実げんじつの空間くうかんの記述きじゅつとして正ただしいかは、論理ろんりではなく観測かんそくが決きめる問題もんだいになる。リーマンが1854年ねんの講演こうえんで展開てんかいした曲まがった空間くうかんの一般いっぱん論ろんが、半はん世紀せいき後ごに重力じゅうりょくの理論りろんの数学的すうがくてきな器うつわとして使つかわれることになるのは、この身分みぶん変更へんこうの直接ちょくせつの帰結きけつである。

『原論げんろん』が与あたえた型かたは、数学すうがくの外そとにも広ひろがった。スピノザは1677年ねんに没後ぼつご刊行かんこうされた主著しゅちょに「幾何学きかがく的てき秩序ちつじょによって論証ろんしょうされた」という副題ふくだいを掲かかげ、定義ていぎと公理こうりを置おいてから命題めいだいを並ならべ、各かく証明しょうめいの末尾まつびに証明しょうめい終おわりの語ごを記しるすという体裁ていさいで倫理学りんりがくを書かいた。ニュートンの1687年ねんの主著しゅちょも、定義ていぎと運動うんどうの公理こうりを冒頭ぼうとうに据すえ、以下いかを命題めいだいと証明しょうめいの連鎖れんさとして組くみ立たてている。ただし、形式けいしきを借かりることと、その形式けいしきが保証ほしょうする確実性かくじつせいを得えることは別べつである。スピノザの公理こうりに読者どくしゃが同意どういする保証ほしょうはどこにもなく、幾何学きかがくの外そとでは、前提ぜんていの正ただしさをどう確保かくほするかという問題もんだいが残のこり続つづけた。

それでも、この営いとなみが持もち込こんだ新あたらしさは決定的けっていてきだった。証明しょうめいは、権威けんいではなく手続てつづきに服従ふくじゅうを求もとめる。プラトンの『メノン』には、幾何学きかがくを学まなんだことのない少年しょうねんが、問といに答こたえていくだけで与あたえられた正方形せいほうけいの2倍にばいの面積めんせきを持もつ正方形せいほうけいの作図さくずに至いたる場面ばめんがある。この場面ばめんの哲学的てつがくてき解釈かいしゃくはさておき、そこで前提ぜんていされているのは、証明しょうめいの正ただしさが証明者しょうめいしゃの身分みぶんや年齢ねんれいや出自しゅつじに依存いぞんしないという性質せいしつである。神託しんたくでも王おうの宣言せんげんでも長老ちょうろうの記憶きおくでもなく、誰だれでも辿たどれる手順てじゅんが権威けんいになる。知ちの正当性せいとうせいの根拠こんきょが人ひとから方法ほうほうへ移うつったこと、これがギリシアで起おきた最もっとも大おおきな事件じけんである。

事実じじつの台帳だいちょう 確かく 56 ／ 推すい 6 ／ 争そう 4

確たしかめられたこと、解釈かいしゃくにとどまること、いま争あらそわれていること ── 三みっつを分わけて記しるす。

• 確かくタレスの著作ちょさくは現存げんそんせず、「万物ばんぶつの始原しげんは水みず」という説せつはアリストテレス『形而上学けいじじょうがく』第一だいいち巻かんの先行せんこう学説がくせつの整理せいりを通つうじて伝つたわるアリストテレス『形而上学けいじじょうがく』A巻かん3章さんしょう
• 争そうヘロドトスが伝つたえるタレスによる日食にっしょく予言よげんヘロドトス『歴史れきし』第だい1巻いっかん74節ななじゅうよんせつ（予告よこくされたのは年としのみで、日時にちじは記しるされない）。前ぜん585年ねん5月ごがつ28日にじゅうはちにちという同定どうていは近代きんだいの天文学的てんもんがくてき逆算ぎゃくさんによる。当時とうじの天文てんもん知識ちしきで特定とくてい地点ちてんでの可視かし性せいまで予測よそく可能かのうだったかに疑義ぎぎがあり、伝承でんしょうとして扱あつかわれる
• 確かくアナクシマンドロスは始原しげんを無限むげん定ていなもの（アペイロン）、アナクシメネスは空気くうきとし、先行者せんこうしゃと異ことなる答こたえを提出ていしゅつした古代こだいの学説がくせつ誌しおよび断片だんぺん
• 確かくソクラテスは著作ちょさくを一行いちぎょうも残のこしていないプラトン、クセノポン、アリストテレスのいずれもソクラテスの著作ちょさくに言及げんきゅうせず、現存げんそんもしない
• 確かくアリストパネス『雲くも』（前ぜん423年ねん上演じょうえん）はソクラテスを吊つり籠かごに乗のせて天空てんくうの事柄ことがらを論ろんじる人物じんぶつとして描えがくアリストパネス『雲くも』
• 争そう歴史上れきしじょうのソクラテスの復元ふくげん可能性かのうせい（ソクラテス問題もんだい）プラトン・クセノポン・アリストパネスの像ぞうが一致いっちせず、19世紀じゅうきゅうせいき初頭しょとうのシュライアマハーの論考ろんこう以来いらい、決着けっちゃくしていない
• 確かくプラトン『エウテュプロン』では、敬虔けいけんを「神々かみがみに愛あいされること」とする定義ていぎが、神々かみがみの間あいだの対立たいりつという対話者たいわしゃ自身じしんの前提ぜんていと衝突しょうとつして崩くずれるプラトン『エウテュプロン』
• 確かくソクラテスの裁判さいばんは前ぜん399年ねん、アテナイの民衆みんしゅう法廷ほうていで行おこなわれたプラトン『弁明べんめい』、クセノポン『ソクラテスの弁明べんめい』、ディオゲネス・ラエルティオス
• 確かく罪状ざいじょうは「国家こっかが認みとめる神々かみがみを認みとめず新奇しんきな神霊しんれいを導入どうにゅうした」「若者わかものを堕落だらくさせた」の二ふたつ。告発人こくはつにんはメレトス、アニュトス、リュコンディオゲネス・ラエルティオス『ギリシア哲学者てつがくしゃ列伝れつでん』第だい2巻にかんがファウォリノス経由けいゆで告発こくはつ状じょうの文面ぶんめんを引用いんよう
• 推すい前ぜん404年ねんの三十人僭主政さんじゅうにんせんしゅせいをめぐる政治的せいじてき背景はいけいが訴訟そしょうの実質的じっしつてき動機どうきだったという解釈かいしゃく前ぜん403年ねんの恩赦おんしゃにより政治的せいじてき訴追そついが封ふうじられていた事情じじょうからの推論すいろんであり、告発こくはつ状じょうに政治的せいじてき文言もんごんはない
• 確かくプラトン『弁明べんめい』にはイデア論ろんが現あらわれず、『パイドン』は魂たましいの不死ふしの論証ろんしょうとイデア論ろんを全面ぜんめん展開てんかいする両りょう対話篇たいわへん本文ほんぶん
• 確かく『パイドン』は冒頭ぼうとう近ちかくで、プラトンは病気びょうきだったと語かたり手てに述のべさせ、自みずからが目撃者もくげきしゃでないことを明示めいじしているプラトン『パイドン』冒頭ぼうとう部ぶ
• 確かく『パイドン』は、デロス島とうへの祭祀さいし使節しせつの帰還きかんまで処刑しょけいが延期えんきされたと記しるすプラトン『パイドン』冒頭ぼうとう部ぶ
• 確かく処刑しょけいに用もちいられた毒どくはコニウム（ドクニンジンの類るい）とされる古代こだいの証言しょうげんおよび『パイドン』の描写びょうしゃに基もとづく通説つうせつ
• 争そう『パイドン』の描えがく静穏せいおんな上行じょうこう性せい麻痺まひの経過けいかが実際じっさいのコニウム中毒ちゅうどくの臨床りんしょう像ぞうと一致いっちするか20世紀にじっせいき以降いこう、医学的いがくてき観点かんてんからの疑義ぎぎが提出ていしゅつされる一方いっぽう、上行じょうこう性せいの運動うんどう麻痺まひと意識いしき清明せいめいの保持ほじを含ふくむ症例しょうれい報告ほうこくは描写びょうしゃと矛盾むじゅんしないとする反論はんろんもあり、疑義ぎぎと反論はんろんが並立へいりつしており決着けっちゃくしていない
• 確かくデルポイの神託しんたくの逸話いつわと「知しらないと思おもっていない点てんだけが自分じぶんの優位ゆうい」という論法ろんぽうは、プラトン『弁明べんめい』でソクラテス自身じしんの語かたりとして提示ていじされるプラトン『弁明べんめい』
• 確かくアリストテレスの論理学ろんりがく的てき著作ちょさくは『カテゴリー論ろん』『命題論めいだいろん』『分析ぶんせき論ろん前書ぜんしょ』『分析ぶんせき論ろん後書あとがき』『トピカ』『詭弁きべん論駁ろんばく論ろん』の六篇ろっぺんからなる現存げんそんする著作ちょさく集しゅうの構成こうせい
• 確かく『オルガノン』という総称そうしょうは後代こうだいの呼称こしょうであり、アリストテレス自身じしんの用語ようごではない古代こだい末期まっきの注釈ちゅうしゃく者しゃの伝統でんとうに由来ゆらいする編纂へんさん上じょうの名称めいしょう
• 確かく定言ていげん命題めいだいの四型よんけいをA・E・I・Oで表あらわす記法きほうは中世ちゅうせいラテン語ご圏けんの工夫くふうで、affirmo（肯定こうていする）とnego（否定ひていする）の母音ぼいんに由来ゆらいする中世ちゅうせい論理学ろんりがくの教科書きょうかしょ伝統でんとう
• 確かく矛盾むじゅん・反対はんたい・小しょう反対はんたい・大小だいしょう関係かんけいという四型よんけい間かんの関係かんけいはアリストテレスが論ろんじているが、正方形せいほうけいの図式ずしきは後代こうだいのもの関係かんけいは『命題論めいだいろん』7章ななしょうほか、図式ずしきはアプレイウスに帰かえされる著作ちょさくおよびボエティウスの系譜けいふに現あらわれる。アプレイウスに帰かえされる著作ちょさくはこれを「四角い図式（quadrata formula）」と呼よんでおり、「対当の方陣（quadratum oppositionum）」という定型ていけい句くが固かたまるのは中世ちゅうせいである
• 確かく対当たいとう方陣ほうじんの反対はんたい・小しょう反対はんたい・大小だいしょう関係かんけいは、全称ぜんしょう命題めいだいが主語しゅご項こうの存在そんざいを含意がんいするという前提ぜんていの下もとでのみ成なり立たち、現代げんだいの述語じゅつご論理ろんりの読よみ（全称ぜんしょう肯定こうていを「SであってPでないものは存在そんざいしない」と解かいする）では矛盾むじゅん関係かんけいのみが残のこる述語じゅつご論理ろんりにおける全称ぜんしょう命題めいだいの標準的ひょうじゅんてき解釈かいしゃく
• 確かく伝統的でんとうてき論理学ろんりがくが妥当だとうとした24式にじゅうよんしきのうち、存在そんざい含意がんいを仮定かていせずに妥当だとうなのは15式じゅうごしきであり、残のこる9式きゅうしき（Darapti・Felapton・Bramantip・Fesapo および弱よわめられた5式ごしき）は主語しゅご項こうの非ひ空性くうしょうを追加ついか前提ぜんていとして要ようする現代げんだいの三さん段だん論法ろんぽうの標準的ひょうじゅんてきな扱あつかい
• 確かく三さん段だん論法ろんぽうの格かくは、大だい項こう（結論けつろんの述語じゅつご）を含ふくむ大前提だいぜんていと、小しょう項こう（結論けつろんの主語しゅご）を含ふくむ小前提しょうぜんていの区別くべつを前提ぜんていとして定義ていぎされる。中項ちゅうこうが大前提だいぜんていで主語しゅご・小前提しょうぜんていで述語じゅつごとなるのが第一だいいち格かく、両りょう前提ぜんていで述語じゅつごとなるのが第だい二に格かく、両りょう前提ぜんていで主語しゅごとなるのが第だい三さん格かく、大前提だいぜんていで述語じゅつご・小前提しょうぜんていで主語しゅごとなるのが第だい四格しかくである伝統的でんとうてき論理学ろんりがくにおける格かくの標準的ひょうじゅんてき定義ていぎ
• 確かくアリストテレスが立たてた格かくは三みっつで、『分析ぶんせき論ろん前書ぜんしょ』第一だいいち巻かん4〜6章しょうにおいて第一だいいち格かくに四よん式しき、第だい二に格かくに四よん式しき、第だい三さん格かくに六ろく式しきの計けい14の妥当だとうな式しきが確定かくていされるアリストテレス『分析ぶんせき論ろん前書ぜんしょ』
• 確かく第一だいいち格かくが「完全かんぜん」とされるのは、結論けつろんの必然性ひつぜんせいが追加ついかの操作そうさなしに読よみ取とれるためであり、第だい二に格かく・第だい三さん格かくは換かえ位いや背理法はいりほうによって第一だいいち格かくに還元かんげんされて妥当性だとうせいが示しめされるアリストテレス『分析ぶんせき論ろん前書ぜんしょ』
• 争そう第だい四格しかくのガレノスへの帰属きぞくアヴェロエス経由けいゆの伝承でんしょうだが、ガレノスの現存げんそんする論理学ろんりがく著作ちょさくに該当がいとう記述きじゅつはなく、20世紀にじっせいきにウカシェヴィチが帰属きぞくを疑うたがって以来いらい、定説ていせつではない
• 確かく四格しかくを立たてた伝統的でんとうてき論理学ろんりがくが妥当だとうと認みとめる式しきは24、そのうち中世ちゅうせいの記憶術きおくじゅつ詩しが列挙れっきょした主要しゅような式しきは19で、残のこる五いつつは大小だいしょう関係かんけいにより結論けつろんを弱よわめた式しきである。弱よわめられた五ご式しきにもBarbari, Celaront, Cesaro, Camestrop, Camenop の名ながある中世ちゅうせい以降いこうの伝統的でんとうてき論理学ろんりがくの計数けいすうであり、アリストテレス自身じしんのものではない
• 確かくBarbara, Celarent, Darii, Ferio などの記憶きおく語ごは13世紀じゅうさんせいきの中世ちゅうせい論理学ろんりがくの産物さんぶつで、母音ぼいんがA・E・I・Oの命題型めいだいけいに、子音しいんが第一だいいち格かくへの還元かんげん操作そうさ（s=単純たんじゅん換かえ位い、p=制限せいげんを伴ともなう換かえ位い、m=前提ぜんていの入いれ替かえ、c=背理法はいりほう）に対応たいおうし、頭あたま子音しいんB・C・D・Fが還元かんげん先さきの第一だいいち格かくの式しき（Barbara, Celarent, Darii, Ferio）を指定していするシャーウッドのウィリアム、スペインのペトルスらの教科書きょうかしょ
• 確かく妥当性だとうせいと真理しんりは区別くべつされ、前提ぜんていが偽にせでも推論すいろんは妥当だとうでありうるアリストテレス『分析ぶんせき論ろん前書ぜんしょ』における、形式けいしきのみによる必然性ひつぜんせいの規定きてい
• 推すい三さん段だん論法ろんぽうは関係かんけいを含ふくむ推論すいろんを扱あつかえない。「すべての馬うまは動物どうぶつである、ゆえにすべての馬うまの頭あたまは動物どうぶつの頭あたまである」という例れいは19世紀じゅうきゅうせいきのド・モルガンによるド・モルガンの関係かんけいの論理ろんりをめぐる一連いちれんの論考ろんこう（『形式けいしき論理学ろんりがく』1847年ねん、および「三さん段だん論法ろんぽうについて IV」1860年ねんほか）。特定とくてい箇所かしょの同定どうていは文献ぶんけんにより揺ゆれる
• 確かく量化子りょうかしを備そなえた人工じんこう言語げんごはフレーゲが1879年ねんの『概念がいねん記法きほう』で与あたえたフレーゲ『概念がいねん記法きほう』（1879年ねん）
• 確かくクリュシッポスの著作ちょさくは完本かんぽんとして一ひとつも現存げんそんせず、内容ないようはセクストス・エンペイリコス、ディオゲネス・ラエルティオス、ガレノス、キケロらの断片だんぺん・証言しょうげんから復元ふくげんされている現存げんそん資料しりょうの状況じょうきょう
• 確かくディオゲネス・ラエルティオスはクリュシッポスの著作ちょさく数すうを700巻かんを超こえると伝つたえるディオゲネス・ラエルティオス『ギリシア哲学者てつがくしゃ列伝れつでん』第だい7巻ななかん
• 確かくストア派はは序数じょすうを命題めいだいそのものの代かわりに用もちい、アリストテレスが項こうに文字もじを用もちいたのと対照たいしょうをなすセクストス・エンペイリコスらが伝つたえる定式化ていしきか
• 確かく五いつつの「証明しょうめい不可能ふかのうなもの」は、前件ぜんけん肯定こうてい、後件こうけん否定ひてい、連言れんげんの否定ひていからの推論すいろん、排他的はいたてき選言せんげんの一方いっぽうの肯定こうていからの推論すいろん、排他的はいたてき選言せんげんの一方いっぽうの否定ひていからの推論すいろんであるセクストス・エンペイリコス、ディオゲネス・ラエルティオス
• 確かくストア派はの選言せんげんは排他的はいたてきであり、現代げんだいの標準的ひょうじゅんてきな包含ほうがん的てき選言せんげんとは異ことなる第だい四よん形式けいしき（pまたはq、pである、ゆえにqでない）が妥当だとうとされることから
• 確かくフィロンは条件文じょうけんぶんが偽にせになるのを「前件ぜんけんが真しんで後件こうけんが偽にせ」の場合ばあいに限かぎるとし、これが実質じっしつ含意がんいにあたる。ディオドロス・クロノスは時間的じかんてき条件じょうけんを加くわえ、クリュシッポスは前件ぜんけんと後件こうけんの否定ひていの両立りょうりつ不可能ふかのう性せいを求もとめたセクストス・エンペイリコスの伝つたえる論争ろんそう
• 確かく「屋根やねの上うえの鴉からすまでがどの条件文じょうけんぶんが真しんかを鳴なき交かわしている」というカリマコスの警句けいくが、この論争ろんそうの広ひろがりを伝つたえるセクストス・エンペイリコスの引用いんよう
• 確かくアリストテレスの論理学ろんりがく著作ちょさくの中世ちゅうせいラテン西方せいほうへの伝達でんたつは、『カテゴリー論ろん』『命題論めいだいろん』が6世紀ろくせいきのボエティウスによるギリシア語ごからの直接ちょくせつ訳やく（logica vetus）、残のこる四よん篇へんが12世紀じゅうにせいきのギリシア語ごからの翻訳ほんやく（logica nova）を主しゅ経路けいろとする。アラビア語ご圏けんを経由けいゆしたのは主しゅとして注釈ちゅうしゃくである中世ちゅうせい論理学史ろんりがくしの標準的ひょうじゅんてき記述きじゅつ
• 確かくストア派はの論理ろんりを命題論めいだいろん理りとして再評価さいひょうかしたのはウカシェヴィチ（1930年代ねんだい）とメイツ（1950年代ねんだい）であるウカシェヴィチのストア派は論理ろんり論ろん、メイツ『ストア派はの論理学ろんりがく』（1953年ねん）
• 確かく条件文じょうけんぶんの逆ぎゃく・裏うら・対偶たいぐうのうち、元もとの命題めいだいと同値どうちなのは対偶たいぐうのみ。逆ぎゃくと裏うらは互たがいに対偶たいぐうの関係かんけいにあり、常つねに同おなじ真偽値しんぎちをとる命題論めいだいろん理りの基本きほん定理ていり
• 確かくウェイソン選択せんたく課題かだいでは、規則きそくの対偶たいぐうにあたるカードが見落みおとされ、多おおくの実施じっしで正答せいとう率りつは1割いちわり前後ぜんごにとどまるピーター・ウェイソンによる1960年代ねんだいの実験じっけんおよび多数たすうの追試ついし
• 確かく同おなじ論理ろんり構造こうぞうでも社会的しゃかいてき規則きそく（年齢ねんれいと飲酒いんしゅなど）の形かたちで提示ていじすると正答せいとう率りつが大おおきく上昇じょうしょうするGriggs & Cox（1982）の飲酒いんしゅ年齢ねんれい版はん、および Cosmides（1989）以降いこうの社会しゃかい契約けいやく説せつによる解釈かいしゃく
• 確かくアリストテレスは背理法はいりほうの代表だいひょう例れいとして、正方形せいほうけいの対角線たいかくせんと一辺いっぺんの通約つうやく不可能ふかのう性せいの証明しょうめいに言及げんきゅうしているアリストテレス『分析ぶんせき論ろん前書ぜんしょ』第一だいいち巻かん23章にじゅうさんしょう
• 推すい通約つうやく不ふ可能性かのうせいの発見はっけんは、任意にんいの二ふたつの量りょうに共通きょうつうの尺度しゃくどがあるという前提ぜんていを崩くずし、その修復しゅうふくとしてエウドクソスの比例ひれい論ろんが『原論げんろん』第だい五ご巻かんに収おさめられた『原論げんろん』第だい五ご巻かんの古代こだいの傍注ぼうちゅう（スコリオン）による帰属きぞくであり、広ひろく受うけ入いれられているが直接ちょくせつの証拠しょうこはない
• 推すいヒッパソスが通約つうやく不可能ふかのう性せいの発見はっけんにより海うみに沈しずめられたという物語ものがたりは後代こうだいの伝承でんしょうである数百すうひゃく年後ねんごのイアンブリコスらに現あらわれる記述きじゅつであり、同時どうじ代だいの証拠しょうこはない
• 推すい『原論げんろん』第十巻だいじっかん末尾まつびに置おかれた二にの平方根へいほうこんの無理むり性せいの命題めいだいは後世こうせいの挿入そうにゅうである校訂こうてい史しにおける通例つうれいの判断はんだん
• 確かく背理法はいりほうには、ある命題めいだいを仮定かていして矛盾むじゅんを導みちびきその否定ひていを結論けつろんする形かたちと、否定ひていを仮定かていして矛盾むじゅんを導みちびき元もとの命題めいだいを結論けつろんする形かたちの二ふたつがあり、排中律はいちゅうりつ（および二に重じゅう否定ひてい除去じょきょ）を要ようするのは後者こうしゃのみである直観ちょっかん主義しゅぎ論理ろんりと古典こてん論理ろんりの差さの標準的ひょうじゅんてきな整理せいり
• 確かく二にの平方根へいほうこんの無理むり性せいの証明しょうめいは前者ぜんしゃの形かたち（仮定かていから矛盾むじゅんを導みちびき仮定かていを否定ひていする）であり、直観ちょっかん主義しゅぎでもそのまま妥当だとうである同上どうじょう
• 確かくブラウワーに始はじまる直観ちょっかん主義しゅぎは無限むげんを扱あつかう領域りょういきで排中律はいちゅうりつを無制限むせいげんには認みとめず、存在そんざいの主張しゅちょうに構成こうせい手続てつづきを要求ようきゅうする。1930年ねん前後ぜんごにハイティングが形式けいしき化かした20世紀にじっせいき初頭しょとうの数学すうがく基礎きそ論ろん
• 確かく直観ちょっかん主義しゅぎが留保りゅうほするのは排中律はいちゅうりつであって無む矛盾律むじゅんりつではなく、直観ちょっかん主義しゅぎ論理ろんりでは排中律はいちゅうりつの否定ひていは導みちびけない（¬¬(A∨¬A) は定理ていりである）。無む矛盾律むじゅんりつのほうを制限せいげんするのは矛盾むじゅん許容きょよう論理ろんり（パラコンシステント論理ろんり）という別べつ系統けいとうである直観ちょっかん主義しゅぎ論理ろんりの標準的ひょうじゅんてきな定式化ていしきか
• 確かくアリストテレスは『形而上学けいじじょうがく』第だい四よん巻かんで無矛盾むむじゅん律りつを最もっとも確実かくじつな原理げんりとして擁護ようごしたアリストテレス『形而上学けいじじょうがく』Γ巻かん3〜4章しょう
• 確かく構成こうせい的てき証明しょうめいとプログラムを対応たいおうづける視点してんにより、直観ちょっかん主義しゅぎ論理ろんりは今日きょうの証明しょうめい支援しえん系けいや型理論かたりろんの基盤きばんの一ひとつになっている現代げんだいの証明しょうめい支援しえん系けいの設計せっけい
• 確かく『原論げんろん』は全ぜん13巻じゅうさんかん、第一だいいち巻かんの冒頭ぼうとうに23の定義ていぎ、五いつつの公準こうじゅん、五いつつの共通きょうつう概念がいねんが置おかれるユークリッド『原論げんろん』第一だいいち巻かん
• 推すい編纂へんさんは前ぜん300年ねん頃ころ、アレクサンドリアで活動かつどうしたユークリッドによるとされる主要しゅような伝記でんき的てき言及げんきゅうは5世紀ごせいきのプロクロスの注釈ちゅうしゃくという800年ねん近ちかく後あとの資料しりょうに依存いぞんしており、生没年せいぼつねんも出身地しゅっしんちも確たしかではない
• 確かく『原論げんろん』第一だいいち巻かん第一だいいち命題めいだいの正せい三角形さんかくけいの作図さくずは2円にえんの交まじわりを暗黙あんもくに用もちいており、それを保証ほしょうする公準こうじゅんは挙あげられていないユークリッド『原論げんろん』第一だいいち巻かん
• 確かく順序じゅんじょに関かんする隙間すきま（直線ちょくせんが三角形さんかくけいの一辺いっぺんと交まじわれば他ほかの一辺いっぺんとも交まじわる、という間あいだの公理こうりを含ふくむ）を最初さいしょに明示めいじしたのはパッシュ『新しん幾何学きかがく講義こうぎ』（1882年ねん）であり、それらを含ふくむ体系たいけいを与あたえたのがヒルベルト『幾何学きかがく基礎きそ論ろん』（1899年ねん）であるパッシュ『新しん幾何学きかがく講義こうぎ』（1882年ねん）、ヒルベルト『幾何学きかがく基礎きそ論ろん』（1899年ねん）
• 確かく第だい五ご公準こうじゅんは他ほかの四よん公準こうじゅんに比くらべて格段かくだんに長ながく、ユークリッド自身じしんは第一だいいち巻かんの28番目ばんめの命題めいだいまで使用しようを先送さきおくりしているユークリッド『原論げんろん』第一だいいち巻かん
• 確かく第だい五ご公準こうじゅんの証明しょうめいの試こころみは古代こだいから続つづき、イブン・アルハイサム、ウマル・ハイヤーム、ナスィール・アッディーン・トゥースィーらイスラーム圏けんの数学者すうがくしゃが独自どくじの議論ぎろんを残のこした11〜13世紀せいきのアラビア語ご数学すうがく文献ぶんけん
• 確かくサッケーリは1733年ねん、第だい五ご公準こうじゅんの否定ひていから矛盾むじゅんを導みちびこうとして多数たすうの定理ていりを導出どうしゅつしたが矛盾むじゅんに至いたらなかったサッケーリの1733年ねんの著作ちょさく
• 確かくロバチェフスキーは1820年代ねんだい末まつに、ボヤイ・ヤーノシュは1832年ねんに父ちちの著書ちょしょの付録ふろくとして、それぞれ独立どくりつに非ひユークリッド幾何きかを展開てんかいした。ガウスは同種どうしゅの結論けつろんに達たっしながら公表こうひょうしなかった19世紀じゅうきゅうせいきの刊行物かんこうぶつおよびガウスの書簡しょかん
• 確かくベルトラミが1868年ねんに与あたえたモデルにより、非ひユークリッド幾何きかの相対的そうたいてき無矛盾むむじゅん性せい、すなわち第だい五ご公準こうじゅんの他ほかの公準こうじゅんからの独立性どくりつせいが確定かくていしたベルトラミの1868年ねんの論文ろんぶん
• 確かくリーマンは1854年ねんの講演こうえんで曲まがった空間くうかんの一般いっぱん論ろんを展開てんかいし、それが後あとの重力じゅうりょく理論りろんの数学的すうがくてき枠組わくぐみとなったリーマンの1854年ねんゲッティンゲン講演こうえん（1868年ねん公刊こうかん）
• 確かくスピノザの主著しゅちょは1677年ねんに没後ぼつご刊行かんこうされ、「幾何学きかがく的てき秩序ちつじょによって論証ろんしょうされた」という副題ふくだいのもと、定義ていぎ・公理こうり・命題めいだい・証明しょうめいという体裁ていさいをとるスピノザ『エチカ』（1677年ねん）
• 確かくニュートンの主著しゅちょは1687年ねん刊かんで、定義ていぎと運動うんどうの公理こうりを冒頭ぼうとうに置おき、以下いかを命題めいだいと証明しょうめいの連鎖れんさとして構成こうせいするニュートン『自然しぜん哲学てつがくの数学的すうがくてき諸しょ原理げんり』（1687年ねん）
• 確かくプラトン『メノン』には、幾何学きかがくを学まなんでいない少年しょうねんが問答もんどうのみで与あたえられた正方形せいほうけいの2倍にばいの面積めんせきを持もつ正方形せいほうけいの作図さくずに至いたる場面ばめんがあるプラトン『メノン』